五年级数学下册 第8讲 找次品（教师版含解析）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（人教版）

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第 8 讲 找次品热点难点一网打尽
用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成 3 份，(如余 1 则放入到最后一份中；如余 2 则分别放入到
前两份中)，保证找出次品而且称的次数一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：
2～3 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次
4～9 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次
10～27 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次
28～81 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 4 次
82～243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次
244～729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次
考点 1：求找次品的最少次数或方法(知道次品是重还是轻)
例 1．盒子里有 18 颗外表完全相同的珍珠，已知里面有一颗是假的，比真的轻一些．请你用没有砝码的
天平找出假珍珠，至少需要称几次？
下面是小乐和小芸设计的两种方案，但都不完整，请你将它们补充完整．
小乐的方案 小芸的方案
(1)将18 颗珍珠平均分为 2份 ，天平两边
各放 1份，　上升　的一边有假．
(2)再将有假的 1份平均分为　　份，称　　次就可
找到有假珍珠的 1份，判断过程是　　．
(3)　　
(4)共称了　　次．
(1)将18 颗珍珠平均分为 3份 ．任取 2
份放在天平上，若两边平衡则　　的 1份有假；若不
平衡，则　　的 1份有假．
(2)　　
(3)　　
(4)共称了　　次．
【思路分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质
量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量
偏小．
【规范解答】解：根据题干，小乐设计的方案是：(1)将18 颗珍珠平均分为 2份 ，天平两边各放
1份，上升的一边有假．
(2)再将有假的 1份平均分为 3份，称 1次就可找到有假珍珠的 1份，判断过程是 把天平两边各放 1份，
如果平衡，则剩下的 1份有次品，若不平衡，则上升的一边有次品．
(3)再将有假的 1份平均分成 3份 ，1， ，把天平两边各放 1份，如果平衡，则剩下的 1份是次品，若不
平衡，则上升的一边是次品．
(4)他共称了 3次．
小芸设计的方案是：(1)将18 颗珍珠平均分为 3份 ．任取 2份放在天平上，若两边平衡则 剩
下的 1份有假；若不平衡，则 上升的 1份有假．
(2)再将有假的 1份平均分成 3份 ，2， ，把天平两边各放 1份，如果平衡，则剩下的 1份是次品，若
不平衡，则上升的一边是次品
(3)再将有假的 1份平均分成 2份 ，把天平两边各放 1份，则上升的一边是次品
(4)共称了 3次．
据此完成表格如下：
小乐的方案 小芸的方案
(1)将18 颗珍珠平均分为 2份 ，天平两边
各放 1份，上升的一边有假．
(2)再将有假的 1份平均分为 3份，称 1次就可找到
有假珍珠的 1份，判断过程是 把天平两边各放 1
份，如果平衡，则剩下的 1份有次品，若不平衡，则
上升的一边有次品．
(3)再将有假的 1份平均分成 3份 ，1， ，把天平
两边各放 1份，如果平衡，则剩下的 1份是次品，若
不平衡，则上升的一边是次品
(4)共称了 3次．
(1)将18 颗珍珠平均分为 3份 ．任取 2
份放在天平上，若两边平衡则 剩下的 1份有假；若
不平衡，则 上升的 1份有假．
(2)再将有假的 1份平均分成 3份 ，2， ，把天平
两边各放 1份，如果平衡，则剩下的 1份是次品，若
不平衡，则上升的一边是次品
(3)再将有假的 1份平均分成 2份 ，把天平两边各
放1份，则上升的一边是次品
(4)共称了 3次．
【名师点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进
行规范解答．
1．汪阿姨买了 9袋薯片，其中 8袋质量相同，另外一袋质量不足为次品．怎样用天平找出这袋薯片？把下
表补充完整．
袋数 分成的份数 保证能找出次品需要称的次
数
9，4，　三　
9，3，　 　
9，2，2，　 　
我发现：用天平找次品，如果待测物品是 3个或 3个以上，首先要把待测物品分成　 　份，能平均分的要
，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差　 　，这样可以保证找出次品的次数最少．
【思路分析】第一种分法：第一次，把 4袋，4袋两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋
薯片即为次品，若不平衡；第二次，把天平秤较高端的 4袋薯片，平均分成两份，每份 2袋，分别放在
天平秤两端，第三次，把较高端的 2袋薯片分别放在天平秤两端，较高端的薯片即为次品，
第二种分法：第一次，从三份中任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的 3袋
中(再按照下面方法操作)，若天平秤不平衡，第二次，从天平秤较高端的 3袋中，任取 2袋，分别放在
天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为次品，若不平衡，天平秤较高端薯片即为次品，
第三种分法：从 2袋，2袋，2袋三份中任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，把较高端的两
袋分别放在天平秤两端，天平秤较高端的那袋即为次品，若平衡；第二次，从这两份中任取一份与另一
个2袋的那份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，把较高端的两袋分别放在天平秤两端，天平秤
较高端的那袋即为次品，若平衡，次品即在未取的 3袋中；第三次，把 3袋中的任两袋分别放在天平秤
两端，若天平秤平衡，未取那袋即为次品，若不平衡，天平秤较高端的即为次品，据此即可规范解答．
【规范解答】解：第一种分法：第一次，把 4袋，4袋两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取
那袋薯片即为次品，若不平衡；第二次，把天平秤较高端的 4袋薯片，平均分成两份，每份 2袋，分别
放在天平秤两端，第三次，把较高端的 2袋薯片分别放在天平秤两端，较高端的薯片即为次品，
第二种分法：第一次，从三份中任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的 3袋
中(再按照下面方法操作)，若天平秤不平衡，第二次，从天平秤较高端的 3袋中，任取 2袋，分别放在
天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为次品，若不平衡，天平秤较高端薯片即为次品，
第三种分法：从 2袋，2袋，2袋三份中任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，把较高端的两
袋分别放在天平秤两端，天平秤较高端的那袋即为次品，若平衡；第二次，从这两份中任取一份与另一
个2袋的那份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，把较高端的两袋分别放在天平秤两端，天平秤
较高端的那袋即为次品，若平衡，次品即在未取的 3袋中；第三次，把 3袋中的任两袋分别放在天平秤
两端，若天平秤平衡，未取那袋即为次品，若不平衡，天平秤较高端的即为次品，
袋数 分成的份数 保证能找出次品需要称的次
数
9，4，三
9，3，二
9，2，2，三
我发现：用天平找次品，如果待测物品是 3个或 3个以上，首先要把待测物品分成 3份，能平均分的要
平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差 1，这样可以保证找出次品的次数最少，
故答案为：三，二，三，3，平均分，1．
【名师点评】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力．
2．根据题意思路分析并填空．
有7枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是假金币比真金币略轻一些，若要将假金币找出来，
至少需在天平上称　 　次．你用下面的图表示称的过程
【思路分析】根据图示可知，第一次，把 7枚金币分成三份：2枚、2枚、3枚，取 2枚的两份分别放在天
平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；第二次，取还
有较轻的一份 枚或 3枚)中的 2枚，分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的为未取的一枚，若天平不
平衡，则可找到较轻的一枚．
【规范解答】解：第一次，把 7枚金币分成三份：2枚、2枚、3枚，取 2枚的两份分别放在天平两侧，若
天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量；
第二次，取还有较轻的一份 枚或 3枚)中的 2枚，分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的为未取的一
枚，若天平不平衡，则可找到较轻的一枚．
答：至少 2次可以找到这枚假金币．
【名师点评】本题主要考查找次品，关键注意每次取金币的枚数．
3．妈妈买了 13 袋盐，其中 12 袋质量相同，另 1袋稍微轻些，是次品盐．妈妈设计了用天平找次品的方案，
请你帮她填完整．
【思路分析】把13 袋分成 ，4， 三组，天平两边各放 4袋，出现两种情况： 平衡、 不平衡． 平
衡时，次品在未称的 5袋，把 5袋分成 ，2， 三组，天平两边各放 2袋，又有两种情况：平衡，次品
定是未称的一袋；不平衡，次品在轻的一边，把一次品的 2袋分成 两组，天平两边各放一袋，轻的一
袋是次品． 不平衡时，次品在轻的一边，把有次品的 4袋分成 两组，天平两边各放 2袋，次品在轻
的一边，把有次品的 2袋分成 ，天平两边各放 1袋，轻的一定是次品．
【规范解答】解：妈妈买了 13 袋盐，其中 12 袋质量相同，另 1袋稍微轻些，是次品盐．妈妈设计了用天
平找次品的方案，帮她填完整(下图)
【名师点评】用天平找次品的关键是把被测物品合理分组，分组的方法不同，称的次数也会不同．
考点 2：求找次品的最少次数或方法(不知道次品是重还是轻)
例 2．(2019 春•腾冲县校级期末)有10 袋白糖，其中 9袋每袋 ，另 1袋不是 ，但不知道比
重还是轻，用天平称，至少 　　 次就能保证把它找出来．
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路分析】先将这 10 袋白糖分成 ，3， 三组，取 这两组分别放入天平称量，即可找出有次品
的一组．称量过程要注意次品与正品的轻重关系是未知的．
【规范解答】解：先将这 10 袋白糖分成 ，3， 三组，取 这两组分别放入天平称量，即可找出有
次品的一组．
若天平平衡，则可确定次品在未取的 4袋白糖组中；
若天平不平衡(此时可以确定未取的 4袋白糖都是正品)，则可将天平较高端(或较低端)的3袋白糖组用未取
的4袋白糖组中的任意 3袋正品白糖换算．换上正品后，若此时天平平衡，则可确定被换下的 4袋白糖
组就是次品组，同时还可确定次品比正品轻(或重)；若此时天平仍然不平衡，则可确定被换下的 3袋白
糖组就是次品，同时还可以确定次品比正品重(轻 ．
确定次品组后，
若次品组是 3袋白糖组，则从这 3袋白糖中任取 2袋分别放入天平两端称量，即可找出次品．
若次品组是 4袋白糖组，则从这 4袋白糖中任取 2袋分别放入天平两端称量．
若天平平衡，则可确定未取的 2袋白糖中有 1袋是次品有 1袋是正品，然后再用未取的 2袋白糖中的任意 1
袋换下此时平衡的天平两端中的任意 1袋正品白糖．换下正品后，若此时天平仍平衡，则可确定最后还
未取的那袋白糖就是次品；若此时天平不平衡，则可确定换上的这袋白糖是次品．
若天平不平衡，则可确定次品就是此时放入天平两端中的这 2袋白糖中的某一袋，还可确定未取的 2袋白
糖都是正品，然后再用未取的 2袋正品白糖中的任意一袋换下此时不平衡的天平两端中的任意一袋白糖
换上正品后，若此时天平平衡，则可确定被换下的那袋白糖就是次品；若此时天平仍然不平衡，则可确
定未被换下的那袋白糖就是次品．
综上所述，不管次品是 4袋白糖组，还是 3袋白糖组，确保找出次品，都至少要称量 3次．
答：用天平秤，至少称 3次就能保证把不是 的这袋白糖找出来．
故选： ．
【名师点评】规范解答此题时，要注意次品与正品的轻重关系是未知的，不能想当然地认为次品就比正品
轻(或重)，在以上的称量过程中，有些在找出次品的同时还可以确定次品与正品的轻重关系，有些并不
能确定，如果既要保证找出次品又要确定次品比正品轻还是重，那么至少要称几次呢？
1．(2019 春•陆良县期末)有3枚外形相同的硬币，其中有一枚是假的，但不知道比真的是轻还是重，至少
需要称　 2 　 次，才能找出它．
【思路分析】情况 ：第一次：任取 2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那枚是假币，第
二次：把未取那枚和天平秤上任一枚，放在天平秤两端，若假币在天平秤高端，则假币较轻，反之则较
重；
情况 ：第一次：任取 2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，记住两枚硬币在天平秤的高低情况；
第二次：把天平秤上较高端那枚和未取那枚放在天平秤两端，若天平秤平衡，则原来在天平秤较低端的
那枚即为假币，假币较重，反之假币较轻，据此即可规范解答．
【规范解答】解：情况 ：第一次：任取 2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那枚是假币，
第二次：把未取那枚和天平秤上任一枚，放在天平秤两端，若假币在天平秤高端，则假币较轻，反之则
较重；
情况 ：第一次：任取 2枚，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，记住两枚硬币在天平秤的高低情况；
第二次：把天平秤上较高端那枚和未取那枚放在天平秤两端，若天平秤平衡，则原来在天平秤较低端的
那枚即为假币，假币较重，反之假币较轻，
故答案为：2．
【名师点评】依据天平秤平衡依据解决问题，是本题考查知识点．
2．(2019 春•瑞金市期末)有10 个零件，其中一件是次品，(次品重一些或轻一些)如用天平称，保证找出次
品，最少测　　次．
【思路分析】从10 个零件中任取 4个，平均分成两份，每份 2个，分别分在天平秤两端，若天平秤不平衡，
就从剩余的6个零件中任取 2个，分别与天平秤两端的零件称量，若后来2个零件在高端，则次品重，
反之次品轻，天平秤平衡，则取的 4个零件没有次品；再从剩余的6个中取 4个，与已称量的 4个分别
放在天平秤两端称量，若平衡则次品在剩余的两个中，最后把剩余2个与已称量的零件中的任意 2个称
量即可规范解答．
【规范解答】解：第一次：从 10 个零件中任取 4个，平均分成两份，每份 2个，分别分在天平秤两端，若
天平秤不平衡，就从剩余的6个零件中任取 2个，分别与天平秤两端的零件称量，若后来2个零件在高
端，则次品重，反之次品轻，若天平秤平衡，则取的 4个零件没有次品；第二次：从剩余的6个零件中
任取 4个，与已称量的 4个，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，则后来拿出的 4个零件在低端，
次品重，反之次品轻，若天平秤平衡，则次品在未取的 2个中，第三次：从已称量的零件中任取 2个与
剩余2个分别放在天平秤两端，剩余两个在低端，则次品重，剩余的两个在高端，则次品轻．
故答案为：3．
【名师点评】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力．
3．在一些零件里有一个是次品(次品重一些或轻一些)，可以用天平称量的方法找到次品．在 3件产品中找
出1件次品，在保证能找到次品的情况下，最优化的方案是称　 2 　 次就能找到次品．
【思路分析】从3个零件任取两个放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的零件即为次品，若不平衡，
从这两个零件中，任取一个与第三个零件称量，若天平秤平衡，则第一次称量时没与第三个称量的零件即
为次品，若不平衡，则从第一次称量中拿出与第三个称量的零件即为次品，据此即可规范解答．
【规范解答】解：第一次：从 3个零件任取两个放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的零件即为次品，
第二次：若不平衡，从这两个零件中，任取一个与第三个零件称量，
若天平秤平衡，则第一次称量时没与第三个称量的零件即为次品，
若不平衡，则从第一次称量中拿出与第三个称量的零件即为次品．
答：在保证能找到次品的情况下，最优化的方案是称 2次就能找到次品．
故答案为：2．
【名师点评】天平秤的平衡原理是规范解答本题的依据，关键是明确：由于次品的质量未知，那么若两个
物品质量相等，第三个一定是次品．
1．(2019 秋•醴陵市期末)27 枚金币中，有一枚假金币，假金币除了质量轻一些外，其他无任何差别，如果
用天平称，至少称　 　次就能保证找出这枚金币．
【思路分析】把27 枚金币分成 ，9， 三组，天平每边各放一组，天平平衡，次品在未称的一组，不平
衡，次品在轻的一边(称第一次)；再把有次品的一组 9枚分成 ，3， 三组，天平每边各放一组，天平平
衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在轻的一边(称第二次)；再把有次品的一组 3枚分成 ，1， 三组，
天平每边各放一组，天平平衡，次品在未称的一组，不平衡，次品在轻的一边(称第三次)．因此，至少称 3
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